万有引力

図1.1のように2つの物体があるとき，その間には物体の質量に比例し，2物体間の距離の2乗に反比例する引力が働く．この力を万有引力(universal gravitation)という．

図 2.1: 球形をした2物体の間に働く引力

l6.5cm

2つの物体の質量をそれぞれ$M,m$とし2つの物体の位置ベクトルの相対ベクトルを$\bm{r}$とする(図参照)．このとき質量$m$に及ぼす質量$M$の引力$\bm{F}_g$は，

$$\bm{F}_g = - \dfrac{GMm}{r^2}(\dfrac{\bm{r}}{r})$$ (3.2)

となる。ただし $r=\vert\bm{r}\vert$であり，$G$は万有引力定数( $=6.673 \times 10^{-23}{\rm\;[kg^{-1}m^3s^{-2}]}$)である．

式(2.2)は，一般的には容積が無限小であるような仮想的なもの（質点）に対して適用されるべきであるが，球対称な質量分布を持つような物体に対しては，その2物体の中心間の距離を$r$として適用することができる．したがって，地球の質量を$M$，大気あるいは海洋の微小部分の質量を$m$とすれば，単位質量あたりの微小部分におよぼす地球の引力は，

$$\dfrac{\bm{F}_g}{m}\equiv g^*= \dfrac{GM}{r^2}(\dfrac{\bm{r}}{r})$$ (3.3)

である．平均海面から測った高さを$z$，地球の平均半径を$a$（ $=6371{\rm\; [km]}$）とすると，$r=a+z$であるので，

$$\bm{g}^* = \dfrac{\bm{g}_0^*}{(1 + \dfrac{z}{a})^2}$$

である．ここで，

$$\bm{g}_0^* = - \dfrac{GM}{a^2}\dfrac{\bm{r}}{r}$$

は平均海面における引力である．気象学では$z\ll a$であるので， $\bm{g}^* = \bm{g}_0^*$となり，地球の引力は高さによらず一定として取り扱えるものとする．