応力と応力テンソル

まず応力について考える．一般に応力はそれが作用する面の向きに依存する．図2.3のように時刻$t$において，流体中の点$\bm{r}$で単位法線ベクトル$\bm{n}$と面積$\delta S$を持つ面を考える．この面を通じて面の表側（$\bm{n}$が向いている側を表とする）の流体が裏側の流体に及ぼす力を，

$$\bm{T}(\bm{n},\bm{r},t)\delta S$$ (3.5)

と書き，単位面積当たりの力 $\bm{T}(\bm{n},\bm{r},t)$を時刻$t$，点$\bm{r}$においてその面に作用する応力（stress）という． $\bm{T}(\bm{n},\bm{r},t)$の$\bm{n}$方向成分は法線応力（normal stress），接平面に平行な成分は接線応力（tangential stress）と呼ばれる．また面の裏側の流体が表側の流体に及ぼす応力は， $\bm{T}(-\bm{n},\bm{r},t)$と表される．したがって，作用反作用の法則より，

$$\bm{T}(\bm{n},\bm{r},t) = - \bm{T}(- \bm{n},\bm{r},t)$$ (3.6)

が成り立つ．ゆえに，法線応力が正ならばその面を通じて流体は引っ張り合い，負ならば押し合っていることになる．以後， $\bm{T}(\bm{n},\bm{r},t)$の$\bm{r}$，$t$を省略する．

図 2.3: 面の向きと応力

図 2.4: 座標軸に垂直な3つの面を持つ微小な四面体

次に，図2.4の微小な四面体にはたらく力のつり合いを考える．この四面体にはたらく力は，慣性力，外力，4つの面を通じて作用する面積力である．慣性力と外力は体積力であり，四面体の長さのスケールを$\delta l$とすると， $O((\delta l)^3)$である．これに対して面積力は $O((\delta l)^2)$であるから， $\delta l \to 0$のときには体積力の寄与が無視できて，四面体の4つの面に作用する面積力のつり合いの式として，

$$\bm{T}(\bm{n})\delta S + \sum_{j=1}^{3}\bm{T}(-\bm{e}_j)\delta S_j = 0$$ (3.7)

を得る．ここで，$\delta S$は $\bigtriangleup P_1P_2P_3$の面積， $\delta S_j$は$x_j$軸に垂直な面の面積である．また，$\bm{e}_j$は$x_j$軸方向の単位ベクトルである．ベクトル$\bm{T}$の$x_i$成分を$T_i$と表す．すなわち，

$$\bm{T} = (T_1,T_2,T_3)$$

と書け，

$$\bm{T}=T_1\bm{e}_1 + T_2\bm{e}_2 + T_3\bm{e}_3 = \sum_{j=1}^3T_j\bm{e}_j$$ (3.8)

ということである．さらに，（2.8）にアインシュタインの縮約記法を用いれば，

$$\bm{T} = T_j\bm{e}_j$$ (3.9)

と表される．同様の記法を（2.7）に使えば，次のように書ける．

$$\bm{T}(\bm{n})\delta S + \bm{T}(-\bm{e}_j)\delta S_j = 0$$ (3.10)

$\delta S_j = (\bm{n}\cdot \bm{e}_j)\delta S$であることと，及び（2.6）を用いれば，（2.7）より，

$$\bm{T}(\bm{n}) = \bm{T}(\bm{e}_j)(\bm{n} \cdot \bm{e}_j)$$ (3.11)

を得る．したがって，３つの座標軸に垂直な面に作用する応力 $\bm{T}(\bm{e}_1)$， $\bm{T}(\bm{e}_2)$， $\bm{T}(\bm{e}_3)$がわかれば任意の面に作用する応力 $\bm{T}(\bm{n})$を知ることができる．

$$\tau_{ij} = T_i(\bm{e}_j)$$ (3.12)

と定義すれば， $\bm{n} \cdot \bm{e}_j = n_j$なので，（2.11）は，

$$T_i(\bm{n}) = \tau_{ij}n_j$$ (3.13)

と書ける．この9個の量$\tau_{ij}$を成分とする量を応力テンソル（stress tensor）という．応力テンソルの特徴は以下のようになる．

• テンソルの定義により$\tau_{ij}$は，$x_j$軸に垂直な面の$x_j$の大きい方の側が小さい方の側に作用する単位面積当たりの力 $\bm{T}(\bm{e}_j)$の$x_i$軸方向の成分である．
• $\tau_{11}$，$\tau_{22}$，$\tau_{33}$が法線応力， $\tau_{ij}(i \neq j)$が接線応力である．
• 応力テンソルは，$\bm{n}$に無関係であり，$\bm{r}$と$t$のみによって決まる．そして，２階テンソル$\tau_{ij}$がベクトル$\bm{n}$をベクトル $\bm{T}(\bm{n})$に対応させる線形作用素の役割をしている．
• 応力テンソルは対称テンソルである．(付録A1,A2参照)

いま，ある法線ベクトル$\bm{n}$を持つ面に作用する応力が，

$$\bm{T}(\bm{n}) = \lambda \bm{n}$$ (3.14)

を満たすとする．このとき，その面には大きさ $\vert\lambda \vert$の法線応力しか作用しない．（2.12）を用れば，（2.14）は，

$$\tau_{ij}n_{j} = \lambda \delta_{ij}n_{j}$$ (3.15)

となる．ここで $\delta _{ij}$はクロネッカーのデルタ（Kronecker delta）であり，$i = j$のとき0で$i \neq j$のとき1である．（2.15）は対称行列$\tau_{ij}$の固有値問題であり，対称行列の性質から重複度も数えれば３個の実固有値 $\tau^{\prime}_{1}$， $\tau^{\prime}_{2}$， $\tau^{\prime}_{3}$が存在する．また，その互いに異なる固有値に対応する固有ベクトル $\bm{e}^{\prime}_1$， $\bm{e}^{\prime}_2$， $\bm{e}^{\prime}_3$は３次元ベクトル空間の直交基底となる．よって，これらの固有ベクトルを新しい直角座標系 $x^{\prime }_{1}$， $x^{\prime }_{2}$， $x^{\prime }_{3}$の基底に選べば，座標軸に垂直な面にはそれぞれ法線応力 $\tau^{\prime}_{1}$， $\tau^{\prime}_{2}$， $\tau^{\prime}_{3}$のみが作用するので，新しい系での応力テンソルの表示行列は，

$${\rm\; diag}(\tau^{\prime }_{1}, \tau^{\prime }_{2}, \tau^{\prime }_{3})$$ (3.16)

となる．ここで，diag$(a,b,c)$は$a,b,c$を対角成分とする対角行列を意味する．この $\tau^{\prime}_{1}$， $\tau^{\prime}_{2}$， $\tau^{\prime}_{3}$を主応力（principal stress）といい，また対応する新しい座標軸を応力テンソルの主軸（principal axes of stress tensor）という．

固有値はスカラー量なので回転に対しても不変である．よって，固有多項式も回転に対して不変であるはずであり，固有方程式の２次の項の係数に対応する行列$\tau_{ij}$のトレースも直角座標系の回転に対して不変である．すなわち，

$$\tau_{ii} \equiv \tau_{11} + \tau_{22} + \tau_{33} = \tau^{\prime}_{1} + \tau^{\prime}_{2} + \tau^{\prime}_{3}$$ (3.17)

が成り立つ．また，主軸系においては，法線 $(n^{\prime}_{1}, n^{\prime}_{2}, n^{\prime}_{3})$を持つ面要素を通して作用する応力は，

$$(\tau^{\prime}_{1} n^{\prime}_{1}, \tau^{\prime}_{2} n^{\prime}_{2}, \tau^{\prime}_{3} n^{\prime}_{3})$$ (3.18)

となる．