応力テンソルの対称性

次に，トルクの合計が0になる条件を導く．連続体のある領域$V$（その表面を$S$とする）において，領域表面にはたらく応力 $T_i(\bm{n})$のトルクと，領域にはたらく体積力$\bm{K}$のトルクがつり合うとき，

$$\int_{S}(\bm{r}\times (\tau_{ij}n_j))dS + \int_{V}\bm{r}\times \bm{K}dV = 0$$ (A..47)

を満たす．なお，直交座標系を使うとして添え字の上下には配慮しないものとする．また，外積はテンソルで表記すれば，

$$\bm{a} \times \bm{b} = \epsilon_{ijk}a_{j}b_{k}$$

となる．ここで， $\varepsilon_{ijk}$はレヴィ・チヴィタ（Levi-Civita）の記号であり，

$$\varepsilon_{ijk} = \begin{cases}+1 ((i,j,k) \in \{ (1,2,3)... ...j,k) \in \{ (1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) \} ) ; \cr 0 (otherwise)\end{cases}$$

と定義される．これを用いれば，（付録A.4）は，

$$\int_{S}(\varepsilon_{ijk}x_{j}\tau_{kl}n_l))dS + \int_{V}(\varepsilon_{ijk}x_{j}K_{k})dV = 0$$ (A..48)

となる．

（付録A.5）の第１項は発散の定理により，

$$\int_{S}(\varepsilon_{ijk}x_{j}\tau_{kl}n_l))dS = \int_{V}\dfrac{\partial}{\partial x_l} (\varepsilon_{ijk}x_{j}\tau_{kl})dV$$

$$= \int_{V} \varepsilon_{ijk}(\tau_{kl} \dfrac{\partial x_{j}}{\partial x_{l}} + x_{j}\dfrac{\partial \tau_{kl}}{\partial x_{l}})dV$$

$$= \int_{V} \varepsilon_{ijk}(\tau_{kl}\delta_{jl} + x_{j}\dfrac{\partial \tau_{kl}}{\partial x_{l}})dV$$

となる．ここで $\delta _{jl}$はクロネッカーのデルタ（Kronecker delta）であり，$j = l$のとき0で$j \neq l$のとき1である．

よって（付録A.5）は，

$$\int_{V} \varepsilon_{ijk}(\tau_{kl}\delta_{jl} + x_{j} (\dfrac{\partial \tau_{kl}}{\partial x_{l}} + K_{k}))dV=0$$

となる．また，つり合いの式（付録A.3）より積分内の第２項は０であるので，結局

$$\int_{V} (\varepsilon_{ijk}\tau_{kl}\delta_{jl})dV=0$$

となる．ここで領域$V$は任意に選ぶことができるので，上式が恒等的に成り立つためには，

$$\varepsilon_{ijk}\tau_{kl}\delta{jl} = 0$$

を満たさなければならない．したがって，モーメントの合計が$０$であるという物理的な制約は，応力テンソルが対称テンソルであること，すなわち

$$\tau_{ij} = \tau_{ji}$$

を要請する．