連続の式の導出

ここで，図3.1のような空間に固定した閉じた曲面$S$を考える．$S$で囲まれた領域を$V$とする．

図 3.1: 空間に固定された閉じた領域

l6.5cm

任意の時刻において，$V$内の流体の質量は

$$\int \!\!\! \int \!\!\! \int_{V} \rho dV$$

である．したがって，$V$内の流体の単位時間当たりの質量の増加は

$$\dfrac{\partial}{\partial t} \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{V} \rho dV = \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{V} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} dV$$

で与えられる．一方，$S$を通って単位時間当たりに$V$から流出する流体の質量は，微小な面要素$\delta S$を通って単位時間当たりに流出する質量 $\rho \bm{u} \cdot \bm{n} \delta S$を$S$全体で加え合わせれば

$$\int \!\!\! \int_{S} \rho \bm{u} \cdot \bm{n} dS$$

である．ただし，$\bm{n}$は$S$の外向き単位法線ベクトルである．流体が新たに発生あるいは消滅したりしない限り，$V$内の流体の質量増加は境界面$S$を通って流体質量が流入したことによるので，次式が成り立つ．

$$\int \!\!\! \int \!\!\! \int_{V} \dfrac{\partial \rho}{\partial t} dV = - \int \!\!\! \int_{S} \rho \bm{u} \cdot \bm{n} dS$$

ここで，ガウスの定理を用いて右辺の面積積分を体積積分に変換して，移行すれば

$$\int \!\!\! \int \!\!\! \int_{V} (\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \rho \bm{u}) dV = 0$$

を得る．上式が任意の領域$V$に対して常に成り立つためには

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \bm{u}) = ... ...{\partial \rho}{\partial t} + \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} (\rho u_{i}) = 0$$ (6.41)

が成り立つ必要がある．この式が質量保存則のひとつの表現であり，連続の式（equation of continuity）と呼ばれる．また，ベクトル公式

$$\nabla \cdot(\rho \bm{u}) = (\bm{u} \cdot \nabla) \rho + \rho \nabla \cdot \bm{u}$$

を用いれば，連続の式（3.4）は次のように書き換えることもできる．

$$\dfrac{D \rho}{Dt} + \rho \nabla \cdot \bm{u} = 0　または　\dfrac{D \rho}{Dt} + \dfrac{\partial \bm{u_{i}}}{\partial x_{i}} = 0$$ (6.42)

流体粒子の密度が運動中変わらないとき，すなわち $D \rho/Dt = 0$であるとき，流れは非圧縮（incompressible）であるという．このとき連続の式は

$$\nabla \cdot \bm{u} = 0　または　\dfrac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} = 0$$ (6.43)

に帰着する．